函数的奇偶性（odevity）是函数的一个重要特征，这是函数的某种对称性的体现。
目录
1 概念
2 性质
3 奇偶延拓
4 偶倍奇零
5 奇偶分解
6 参见
7 参考资料
概念[]
如果一个定义在对称集合
I
{\displaystyle I}
（所谓对称集合，就是一个数集
I
{\displaystyle I}
，对任意的
x
∈
I
{\displaystyle x \in I}
，
−
x
∈
I
{\displaystyle -x \in I}
）上的（实的或复的）函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，若
∀
x
∈
I
{\displaystyle \forall x \in I}
，都有
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x) = f(-x)}
那么就称该函数是偶函数，对于一元实偶函数，它的函数图像以
y
{\displaystyle y}
轴为对称轴。
如果一个定义在对称集合
I
{\displaystyle I}
上的（实的或复的）函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，若
∀
x
∈
I
{\displaystyle \forall x \in I}
，都有
f
(
x
)
=
−
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x) = -f(-x)}
那么就称该函数是奇函数，对于一元实奇函数，它的函数图像以
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0) }
为对称中心，且若在原点处有定义，其函数值必为零。
性质[]
以下均在给定函数的的交集（定义域）非空时考虑：
奇函数和奇函数的和差与数乘依然是奇函数；偶函数和偶函数的和差与数乘依然是偶函数。
奇函数和奇函数之积是偶函数，偶函数与偶函数之积还是偶函数。
奇函数和偶函数之积是奇函数。
一个函数既是奇函数又是偶函数当且仅当它在定义区间上恒为零。
可微的奇函数，它的导数是偶函数；可微的偶函数，它的导数是奇函数。
可积的奇函数，它的不定积分都是偶函数；可积的偶函数，它的不定积分中有一个是奇函数。
以
x
=
a
≠
0
{\displaystyle x = a \ne 0}
为对称轴的奇函数，是以
4
|
a
|
{\displaystyle 4|a|}
为周期的周期函数。
严格单调奇函数的反函数是奇函数。
由第五条性质以及奇函数在原点处有定义时取值为零可知，一个于原点光滑的函数是奇函数当且仅当它的泰勒级数中偶次幂的泰勒系数为零；一个于原点光滑的函数是偶函数当且仅当它的泰勒级数中奇次幂的泰勒系数为零。
关于复合函数：
若
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x), g(x)}
是定义在对称集合上的奇函数，那么
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g(f(x))}
是奇函数；
若
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x), g(x)}
分别是定义在对称集合上的奇函数和偶函数，那么
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g(f(x))}
是偶函数；
若
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是定义在对称集合上的偶函数，
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
是任意定义在
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
值域的非空子集上的函数，那么
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g(f(x))}
是偶函数。
奇偶延拓[]
定义在
(
0
,
a
)
{\displaystyle (0, a)}
上的函数，要利用它构造一个奇函数，则下面的函数就是所要求的
F
(
x
)
=
{
f
(
x
)
,
x
∈
(
0
,
a
)
,
0
,
x
=
0
,
−
f
(
−
x
)
,
x
∈
(
−
a
,
0
)
.
{\displaystyle F(x) = \begin{cases}
f(x), & x \in (0, a), \\
0, & x = 0, \\
-f(-x), & x \in (-a, 0).
\end{cases}}
定义在
[
0
,
a
)
{\displaystyle [0, a)}
上的函数，可以同理构造偶函数
F
(
x
)
=
{
f
(
x
)
,
x
∈
[
0
,
a
)
,
f
(
−
x
)
,
x
∈
(
−
a
,
0
)
.
{\displaystyle F(x) = \begin{cases}
f(x), & x \in [0, a), \\
f(-x), & x \in (-a, 0).
\end{cases}}
这也可以表示为
F
(
x
)
=
f
(
|
x
|
)
.
{\displaystyle F(x) = f(|x|).}
如果偶延拓时原来的函数在零点处没有定义，一般使用右极限来定义（此时要求延拓有连续性），但此外实际上这一点处的情形并不可知。
偶倍奇零[]
对一元实函数而言，如果
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是奇函数，那么任意对称区间上的定积分均为零，如果
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是偶函数，那么任意对称区间
[
−
a
,
a
]
{\displaystyle [-a, a]}
上的定积分，都等于
[
0
,
a
]
{\displaystyle [0, a]}
上定积分的二倍，这对于收敛的反常积分亦为真。
对多元积分，使用对称性时要注意将被积变元和积分区间对应起来，例如，考察一个二元积分
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
{\displaystyle \iint_D f(x, y) \mathrm{d}\sigma}
，如果
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x, y)}
是
x
{\displaystyle x}
的奇函数，即
f
(
x
,
y
)
=
−
f
(
−
x
,
y
)
{\displaystyle f(x, y) = - f(-x, y)}
，那么此时
x
{\displaystyle x}
取到对称区间的值且取每一定值时
y
{\displaystyle y}
的变化范围关于
x
{\displaystyle x}
和
−
x
{\displaystyle -x}
均相同（即，
D
{\displaystyle D}
关于
y
{\displaystyle y}
轴对称）才可以使用对称性结论。
奇偶分解[]
任何一个定义在对称集合上的函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
均可以表示为一个奇函数
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
2
{\displaystyle g(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}}
和一个偶函数
h
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
2
{\displaystyle h(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2}}
的和，且这种表示方法是唯一的，例如
e
x
=
e
x
−
e
−
x
2
+
e
x
+
e
−
x
2
=
sinh
x
+
cosh
x
.
{\displaystyle \text{e}^x = \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2} + \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2} = \sinh x + \cosh x.}
参见[]
函数对称性
函数周期性
函数单调性
参考资料欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
微分学（学科代码：1103410，GB/T 13745—2009）
极限论
数列 ▪ 数列极限 ▪ 上极限和下极限 ▪ 无穷小量以及无穷大量 ▪ 两面夹法则 ▪ Stolz 定理 ▪ Toeplitz 定理 ▪ Stirling 公式 ▪ 函数极限 ▪ 第二重要极限 ▪ 不定型极限与 L' Hospital 法则 ▪ Heine 定理
一元连续性
连续函数 ▪ 间断点 ▪ 一致连续 ▪ Cantor 一致连续性定理 ▪ Lipschitz 连续和 Hölder 连续 ▪ 基本初等函数 ▪ 幂平均
一元微分
导数 ▪ 基本初等函数的导数 ▪ 求导法则 ▪ 高阶导数 ▪ 莱布尼兹公式（高阶导数） ▪ 微分以及差分 ▪ Darboux 定理 ▪ 零点定理
中值定理微分的应用
Fermat 定理 ▪ Rolle 定理 ▪ Lagrange 中值定理 ▪ Cauchy 中值定理 ▪ Taylor 公式 ▪ 函数极值 ▪ 函数凸性 ▪ 渐近线 ▪ 曲线的曲率
多元极限多元微分
Euclid 空间点集 ▪ Euclid 空间中的基本定理 ▪ 多元函数 ▪ 多元函数的连续性 ▪ 偏导数 ▪ 全微分 ▪ 隐函数求导法 ▪ 方向导数 ▪ 多元 Taylor 展开 ▪ 多元函数的极值 ▪ 多元函数的条件极值与 Lagrange 乘数法 ▪ 隐函数
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