对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：
f
(
a
+
h
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
h
+
o
(
h
)
{\displaystyle f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+o(h)}
，其中
o
(
h
)
{\displaystyle o(h)}
是比h 高阶的无穷小。
也就是说
f
(
a
+
h
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
h
{\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h}
，或
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}
。
注意到
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
和
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}
在a 处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a 处的前n 次导数值都与函数在a 处的前n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a 附近的情况。以下定理说明这是正确的：
定理：
设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有：
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
(
2
)
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
R
n
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x).}
[2]
其中的多项式称为函数在a 处的泰勒展开式，剩余的
R
n
(
x
)
{\displaystyle R_{n}(x)}
是泰勒公式的余项，是
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle (x-a)^{n}}
的高阶无穷小。
R
n
(
x
)
{\displaystyle R_{n}(x)}
的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。
带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
(
2
)
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
o
[
(
x
−
a
)
n
]
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o[(x-a)^{n}]}
也就是说，当x 无限趋近a 时，余项
R
n
(
x
)
{\displaystyle R_{n}(x)}
将会是
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle (x-a)^{n}}
的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle (x-a)^{n}}
[3]。这个结论可以由下面更强的结论推出。
带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
(
2
)
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
(
n
+
1
)
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{(n+1)}}
即
R
n
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
(
n
+
1
)
{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{(n+1)}}
，其中
ξ
∈
(
a
,
x
)
{\displaystyle \xi \in (a,x)}
[4]。
带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]：
R
n
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
n
+
1
)
(
t
)
n
!
(
x
−
t
)
n
d
t
,
{\displaystyle R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt,}